حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من المتباينات المركبة الآتية، ثم مثل مجموعة الحل بيانياً:

٦) ن + ٢ $\le$ -٥ و ن + ٦ $\ge$ -٦

ن + ٢ $\le$ - ٥ و ن + ٦ $\ge$ - ٦

ن + ٢ - ٢ $\le$ - ٥ - ٢ و ن + ٦ - ٢ $\ge$ - ٦ - ٢

ن $\le$ - ٧ و ن $\ge$ -١٢

{ن| - ١٢$\le$ ن $\le$ -٧ }.

٧) ص - ١ $\ge$ ٧ أو ص + ٣ < - ١

ص - ١ $\ge$ ٧ أو ص + ٣ < - ١

ص - ١ + ١ $\ge$ ٧ + ١ أو ص + ٣ - ٣ < - ١ - ٣

ص $\ge$ ٨ أو ص < - ٤

{ص | ص $\ge$ ٨ و ص < - ٤}.

٨) - ٥ < ٣ب + ٧ $\le$ ٢٢

- ٥ < ٣ب + ٧ ، ٣ب + ٧ $\le$ ٢٢

- ٥ - ٧ < ٣ب + ٧ - ٧ ، ٣ب + ٧ - ٧ $\le$ ٢٢ - ٧

-١٢ < ب ، ٣ب $\le$ ١٥

-٤ < ب ، ب $\le$ ٥

{ب| - ٤< ب $\le$ ٥}.

٩) -٣ $\le$ ٧م + ٤ < ١٨

-٣ $\le$ ٧م + ٤ ، ٧م + ٤ < ١٨

-٣ - ٤ $\le$ ٧م + ٤ - ٤ ، ٧م + ٤ - ٤ < ١٨ - ٤

- ٧ $\le$ ٧م ، ٧م < ١٤

-١ $\le$ م ، م < ٢

{م | - ١ $\le$م < ٢}.

١٠) سرعة: تبين اللوحتان المجاورتان أقصى سرعة وأدنى سرعة على طريق. عبر عن ذلك بمتباينة، ومثلها بيانياً.

افرض أن ع تمثل السرعة.

٦٠ $\le$ ع $\le$ ١٢٥

١١) نظرية الأعداد: أوجد جميع المجموعات التي يتكون كل منها من عددين صحيحين فرديين موجبين متتاليين مجموعهما على الأقل ٨ ولا يلق عن ٢٤.

٨ $\le$ س + (س + ٢) $\le$٢٤

٨ $\le$ ٢س + ٢ $\le$٢٤

٨ $\le$ ٢س + ٢ ، ٢س + ٢ $\le$٢٤

٨ - ٢ $\le$ ٢س + ٢ - ٢ ، ٢س + ٢ - ٢ $\le$٢٤ - ٢

٦ $\le$ ٢س ، ٢س $\le$ ٢٢

٣ $\le$ ١١ ، س $\le$ ١١

المجموعات: (٣، ٥)، (٥، ٧)، (٧، ٩)، (٩، ١١)

اكتب متباينة مركبة تعبر عن كل تمثيل بياني فيما يأتي:

١٢)

-١ $\le$ س $\le$ ٤

١٣)

س < -٤ أو س > -٣

١٤)

س $\le$ ٣ أو س $\ge$ ٦

١٥)

س $\le$ -٣ أو س > ٠

حل كلاً من المتباينتين المركبتين الآتيتين، ثم مثل مجموعة حلها بيانياً:

١٦) ٣ب + ٢ < ٥ب - ٦ $\le$ ٢ب + ٩

٣ب +٢ < ٥ب - ٦ | ٥[ - ٦ $\le$ ٢ب + ٩

٦ + ٢ < ٥ب - ٣ب | ٥ب - ٢ب $\le$ ٩ + ٦

٨ < ٢ب | ٣ب $\le$ ١٥

٤< ب | ب $\le$ ٥

{ب | ٤ < ب $\le$ ٥}.

١٧) ٥ن - ١ < - ١٦ أو - ٣ن - ١ < ٨

٥ن - ١ < -١٦ أو -٣ن - ١ < ٨

٥ن - ١ + ١ < -١٦ + ١ أو -٣ن - ١ + ١ < ٨ + ١

٥ن < ١٥ أو -٣ن < ٩

ن < ٣ أو ن > - ٣

{ن | ن < ٣ أو ن > -٣}.

١٨) أفاع: تعيش معظم الأفاعي في المناطق التي تتراوح درجة الحرارة فيها من ٢٤° سيليزسة إلى ٣٣° سيليزية. اكتب متباينة تمثل درجات حرارة المناطق التي لا تعيش فيها الأفاعي.

تبين المسألة درجة الحرارة التي تعيش فيها الأفاعي والمطلوب درجة الحرارة التي لا تعيش فيها الأفاعي.

س < ٢٤ أو س > ٣٣.

١٩) سلاحف: نادراً ما تفقس بيوض السلاحف البحرية في درجة حرارة أقل من ٢٣° أو ٣٣° سيليزية. اكتب متباينة تمثل درجات الحرارة التي يجب أن تحضن فيها البيوض كي تفقس.

درجات الحرارة التي تحضن فيها البيوض كي تفقس هي: ٢٣° $\le$ ت $\le$ ٣٣°

٢٠) هندسة: تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالثة.

أ) اكتب ثلاث متباينات تعبّر عن العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث المجاور، وحلها.

س + ٩ > ٤ و س + ٤ > ٩ و ٤ + ٩ > س

س > - ٥ و س > ٥ و س < ١٣

ب) أعط أربعة أطوال ممكنة للضلع الثالث في هذا المثلث.

الأطوال الممكنة: ٦، ٩، ١٠، ١١

جـ) اكتب متباينة مركبة تمثل قيم س الممكنة.

المتباينة: ٥ < س < ١٣

٢١) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة: الخطأ المطلق للقياس الذي يساوي نصف وحدة القياس، والخطأ النسبي وهو نسبة الخطأ المطلق إلى القياس نفسه.

أ) جدولياً: انقل الجدول الآتي وأكمله:

ب) تحليلياً: إذا كان طول قطعة مستقيمة ١٢.٨ سم، فاحسب الخطأ المطلق، ثم اكتب مدى الأطوال الممكنة.

الخطأ المطلق: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$(٠.١) = ٠.٠٥ سم.

مدى الأطوال الممكنة: ١٢.٨ - ٠.٠٥ $\le$ م $\le$ ١٢.٨ + ٠.٠٥

١٢.٧٥ $\le$ م $\le$ ١٢.٨٥

جـ) منطقياً: إلى أي حد تقيس دقة الطول بالسنتمترات لكي يكون الخطأ المطلق أقل من ٠.٠٥ سم؟

يقاس لأقرب جزء من مئة.

عرف متغيراً في كل الأسئلة (٢٢ - ٢٤)، واكتب المتباينة، ثم حلها، وتحقق من صحة الحل:

٢٢) عدد ناقص ثمانية لا يزيد على ١٤ ولا يقل عن ٥.

افترض أن العدد المتغير هو ن.

٥ $\le$ ن - ٨ $\le$ ١٤

٥ $\le$ ن - ٨ | ن - ٨ $\le$ ١٤

١٣ $\le$ ن | ن $\le$ ٢٢

{ن| ١٣ $\le$ ن $\le$ ٢٢}.

التحقق:

افترض العدد ن = ١٤ وقم بالتعويض عنه في المتباينة الأصلية.

٥ $\le$ ١٤ - ٨ $\le$ ١٤ | ٥ $\le$ ٦ $\le$ ١٤ العبارة صحيحة.

٢٣) ناتج جمع ثلاثة امثال عدد مع أربعة يقع بين - ٨ و ١٠.

- ٨ن < ٣ن + ٤ < ١٠

-٨ < ٣ن + ٤ | ٣ن + ٤ < ١٠

-١٢ < ٣ن | ٣ن < ٦

- ٤< ن | ن < ٢

{ن| - ٤ < ن < ٢}.

٢٤) ناتج ضرب عدد في -٥ يزيد على ٣٥ أو يقل عن ١٠.

- ٥ن > ٣٥ أو -٥ن < ١٠

ن < - ٧ | ن > -٢

{ن | ن < - ٧ أو ن > -٢}.

٢٥) أعاصير: تصنف قوة الأعاصير في ٥ فئات تبعاً لسرعة رياحها كما في الجدول المجاور:

أ) اكتب متباينة مركبة تعبر عن سرعة الرياح في إعصار من الفئة ٣، ثم في إعصار من الفئة ٤.

الفئة الثالثة: ١١١ $\le$ س $\le$ ١٣٠

الفئة الرابعة: ١٣١ $\le$ س $\le$ ١٥٥

ب) ما تقاطع التمثيلين البيانيين للمتباينتين اللتين كتبتهما في الفراغ أ؟

٢٦) اكتشف الخطأ: حل كل من سعد ومسفر المتباينة ٣ < ٢س - ٥ < ٧. فأيهما إجابته صحيحة؟ وضح تبريرك.

كلاهما خطأ؛ لأن كلاهما أضاف ٥ إلى طرف واحد من المتباينة.

٢٧) تبرير: اكتب متباينة مركبة يكون تمثيلها البياني المجموعة الخالية، ومتباينة أخرى يكون تكثيلها البياني مجموعة الأعداد الحقيقية.

المجموعة الخالية: س $\le$ ٤ و س $\ge$ ١

جميع الأعداد الحقيقية: س $\le$ ٥ أو س $\ge$ ١

٢٨) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً لمتباينة مركبة تحتوي (أو) وحلولها كثيرة وغير منتهية.

س $\le$ ٢ أو س $\ge$ ٤

٢٩) اكتب: أعط مثالاً من واقع الحياة يمكن تمثيله بمتباينة مركبة، ثم حلها.

تتراوح درجة حرارة جسم الإنسان الحي بين ٣٦ و ٣٩ درجة سيليزية.

٣٦ $\le$س $\le$ ٣٩

٣٠) ما مجموعة حل المتباينة: - ٧ < س + ٢ < ٤؟

أ) {س | -٥ < س < ٦}

ب) {س | -٥ < س < ٢}

جـ) {س | -٩ < س < ٢}

د) {س | -٩ < س < ٦}

٣١) هندسة: ما مساحة سطح المنشور الرباعي المجاور؟

أ) ٢٤٩.٦ سم^٢

ب) ٢٧٨.٤ سم^٢

جـ) ٣١٣.٦ سم^٢

د) ٣٧١.٢ سم^٢