حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا، وفسر إجابتك:

٨) -٣، ١، ٥، ٩،...

نعم، الأساس ٤.

٩) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}،\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}،\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$.....

لا، الفرق غير ثابت.

أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل متتابعة حسابية فيما يأتي:

١٠) ٠.٠٢، ١.٠٨، ٢.١٤، ٣.٢،....

٤.٢٦، ٥.٣٢، ٦.٣٨

١١) ٢١، ١٩، ١٧، ١٥،.....

١٣، ١١، ٩.

١٢) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}،\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$، ٣،$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}$،....

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}$، ٤، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$

١٣) $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ٠، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ١،....

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$، ٢، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$

اكتب معادلة الحد النوني لكل متتابعة حسابية فيما يأتي، ثم مثل حدودها الخمسة الأولى بيانياً:

١٤) -٣، -٨، -١٣، -١٨،....

أ_ن = -٥ن + ٢

١٥) -٢، ٣، ٨، ١٣،.....

أ_ن = ٥ن -٧

١٦) ٠.٧٥، -٠.٥، ٠.٢٥، ٠،...

أ_ن = ٠.٥ن - ١

١٧) -١١، -١٥، -١٩، -٢٣،....

أ_ن = -٤ن - ٧

١٨) حدائق ترفيهية: لعب حمد وأصدقاؤه في مدينة الألعاب لعبتين خلال الساعة الأولى، وبعد ساعتين كانوا قد لعبوا ٤ ألعاب، وبعد ثلاث ساعات ٦ ألعاب.

أ) اكتب دالة للتعبير عن المتتابعة الحسابية.

ق(ن) = ٢ن

ب) مثل الدالة بيانياً، وحدد المجال.

١٩) مستعملاً التمثيل البياني المجاور لمتتابعة حسابية:

أ) اكتب الحدود الخمسة الأولى.

-٣، -١، ١، ٣، ٥

ب) اكتب معادلة الحد النوني .

أ_ن = ٢ن - ٥

جـ) اكتب دالة للتعبير عن المتتابعة الحسابية.

ف(ن) = ٢ن - ٥

٢٠) إعلانات: تتقاضى إحدى الصحف أجور الإعلانات بحسب عدد كلمات الإعلان. اكتب دالة تعبر عن تكاليف الإعلان.

ف(ن) ١.٥ن + ٢٠.

٢١) ما الحد الأول في متتابعة حسابية حدها الرابع يساوي ٨ واساسها ٢؟

= ٨ - ٢ × ٣

=٢

٢٢) متتابعة حسابية أساسها -٥. إذا كان أ_١٢ يساوي ٢٢ فما قيمة أ_١؟

= ٢٢ -(-٥ × ١١) = ٧٧

٢٣) ما الحد الذي قيمته - ٣٦ في المتتابعة الحسابية ٢٨، ٢٠، ١٢، ٤،....؟

الحد التاسع.

٢٤) تمثيلات متعددة: في متتابعة فيبوناشي قيمة أي حد (بعد أول حدين)، تساوي مجموع الحدين السابقين له. والحدود الستة الأولى لها هي: ١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨،....

أ) جبرياً: اكتب معادلة الحد النوني إذا كانت ن $\ge$ ٣.

أ_ن = أ_ن-٢ + أ_ن-١

ب) جبرياً: أوجد الحد الخامس عشر في المتتابعة.

= ٦١٠

جـ) بيّن ما إذا كانت متتابعة فيبوناشي حسابية أم لا؟

ليست حسابية؛ لأن الفرق بين كل حدين متتاليين فيها غير ثابت.

٢٥) مسألة مفتوحة: كوّن متتابعة حسابية أساسها - ١٠.

٢، -٨، -١٨، -٢٨،....

٢٦) تحد: أوجد قيمة س التي تجعل س + ٨، ٤س + ٦، ٣س الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة حسابية.

= -١

٢٧) بين إذا كانت المتتابعة: س - ١، ٣س + ٢، ٥س + ٥،... حسابية أم لا، وفسر إجابتك.

حسابية؛ الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت، الاساس ٢س + ٣.

٢٨) تحد: بيّن هل المتتابعة في كل مما يلي حسابية أم لا. وفسر إجابتك. وإذا كانت حسابية فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية:

أ) ٢س +١، ٣س + ١، ٤س + ١....

حسابية؛ الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت، الاساس ٢س + س.

ب) ٢س، ٤س، ٨س،....

ليست حسابية؛ الفرق بين أي حدين متتاليين غير ثابت.

٢٩) اكتب: وضح كيف تجد حداً معيناً في متتابعة حسابية، وكيف تكتب المتتابعة الحسابية كدالة خطية.

إجابة ممكنة، أوجد أولاً الأساس للمتتابعة المعطاة. ثم استعمل الصيغة أ_ن = أ_١ + (ن - ١)د، في التعويض عن ن بترتيب الحد المطلوب. فالمتتابعة الحسابية هي دالة خطية يمثل فيها د الميل، ن المتغير المستقل، أ_ن المتغير التابع.

٣٠) أي العلاقات الآتية تمثل دالة؟

أ) {(-٥، ٦)، (٤، -٣)، (٢، -١)، (٤، ٢)}

ب) {(٣، -١)، (٣، -٥)، (٣، ٤)، (٣، ٦)}

جـ) {(-٢، ٣)، (٠، ٣)، (-٢، -١)، (-١، ٢)}

د) {(-٥، ٦)، (٤، -٣)، (٢، -١)، (٠، ٢)}

٣١) أوجد معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: -٧، -٤، -١، ٢،....

أ) أ_ن = ٣ن - ٤

ب) أ_ن = -٧ن + ١

جـ) أ_ن = ٣ن - ٤

د) أ_ن = -٧ن + ٤